stijfheidsmatrices

Stijfhedsmatricen er en central størrelse i mekanik og numerisk analyse, der beskriver, hvordan et strukturelt system reagerer på påførte kræfter ud fra nodale forskydninger. I lineær elastik og små deformationer opfyldes relationen f = K u, hvor f er vektoren af nodale kræfter, u er nodal forskydning, og K er stijfhedsmatricen.

I finite-element metoden bygges K som en sum af lokalt beregnede stijfhedsmatri cer fra hvert element. Den globale stijfhedsmatrix K opnås ved en assembly-proces, der sammenføjer de lokale matricer i forhold til elementernes knudepunkter og frihedstilstande. Elementets lokale stijfhedsmatrix K_e beregnes ofte som K_e = ∫ B^T D B dV, hvor D er materialets konstitutive matrix (spænding som funktion af strain) og B er strain-displacement-matrix. K er typisk symmetrisk og positivt definit, forudsat at materialet opfører sig elastisk og problemet er velnået. Matricen er også sparsom, fordi hvert element kun forbinder et begrænset antal noder.

Elementniveau varierer alt efter elementtype: for eksempel har en trussstivhedsmatrix K_e = (A/L) [[1, -1], [-1, 1]] i to-noded trusselementer, mens frame- eller pladeelementer giver større K_e-matricer og kørselsorienteringer afhængig af geometri og dimensioner. I praksis anvendes stijfhedsmatricen i statiske beregninger (f = K u med passende randbetingelser) og dynamiske analyser (ω^2 M φ = K φ, hvor M er masse-matrice og φ eigenvektorer til naturalfrekvenser). Egenskaber som sparsomhed, symmetri og positiv definithed gør K velegnet til effektive løsningsmetoder.