solvabilitetsproblem

Solvabilitetsproblemet er et klassisk beslutningsproblem i algebra, der spørger, om en given polynomiel ligning med bestemte koefficienter kan løses ved radikaludtrækning. Med løsninger ved radikale menes udtryk for rødderne, som opnås ved en endelig sammensætning af addition, multiplikation og udtrækning af n-te rødder, begyndende fra grundfeltet (ofte ℚ).

Galois-teorien giver en fuldstændig karakterisering af problemet: et polynomium med rationalt koefficienter er løseligt ved radikaler, hvis og kun hvis dets Galois-gruppe over feltet er en løselig gruppe. Denne forbindelse gør solvabilitetsproblemet til et deciderbart aggregate-problem, der kan reduceres til spørgsmålet om Galois-gruppens struktur.

Praktisk betyder det, at polynomier af grad ≤ 4 altid er løselige ved radikaler (hvis man arbejder over ℚ). For højere grader findes der polynomier, hvis Galois-gruppe ikke er løselig; for eksempel kan et irreducibelt quintic have Galois-gruppe S5, hvilket ikke er løseligt, og sådanne polynomier er ikke løselige ved radikaler. Mange anvendelser i matematisk litteratur og computeralgebra-systemer kredser derfor om at bestemme Galois-gruppen for at afgøre solvability.

I design og analyse af algoritmer til polynomiel løsning spiller solvabilitetsproblemet en central rolle: det danner grundlaget for metoder til at teste løselighed ved radikaler og for konstruktion af rødder via radikale metoder. Det står også som et teoretisk fundament for forståelsen af, hvilke polynomier der er konstruerbare med enkle geometriske eller aritmetiske operationer.

Se også: Galois-teori, løselige grupper, radikale løsninger, polynomier.