småvinkelapproximationer

Småvinkelapproximationen, ofta kallad småvinkelantagandet, är en förenkling inom trigonometri och fysik som används när vinklarna är små. Den utgår från att trigonometriska funktioner kan ersättas med enklare uttryck i radianer.

För små vinklar θ i radianer gäller sin θ ≈ θ och tan θ ≈ θ, medan cos θ ≈ 1 − θ^2/2. Dessa förenklingar följer ur serierutvecklingarna: sin θ = θ − θ^3/6 + O(θ^5), tan θ = θ + θ^3/3 + O(θ^5), cos θ = 1 − θ^2/2 + θ^4/24 + O(θ^6).

Användningar av småvinkelapproximationen finns inom mekanik, optik och geometri. Den underlättar analyser av pendlar med små svängningar, där perioden ofta kan approximativt beräknas som P ≈ 2π sqrt(L/g). Den förenklar beräkningar av små vinklar mellan ljusstrålar och i mätuppgifter där endast små avvikelser från horisontalen eller vertikaliteten förekommer.

Begränsningar: approximationen kräver att θ är liten och att vinkeln mäts i radianer. För större vinklar blir felet betydande; relativt fel växer ungefär som θ^2. För noggrannare resultat krävs full trigonometrisk funktion eller högre ordning i serierna.