skalárszoros

A skalárszoros, más néven skalár szorzat vagy belső szorzat, egy művelet, amely két vektort fogad be, és egy skalárt (egyetlen számot) eredményez. A skalárszorosnak számos fontos tulajdonsága van, amelyek miatt alapvető fontosságú a lineáris algebrában, fizikában és más tudományterületeken.

Az euklideszi térben két vektor, az a és a b skalárszorzata a következőképpen definiálható: a · b = |a| |b| cos(θ), ahol |a| és |b| a vektorok hossza, θ pedig a két vektor által bezárt szög. Ezen definíció alapján a skalárszorzat megadja, hogy a két vektor mennyire mutat egy irányba. Ha a vektorok merőlegesek egymásra, a skalárszorzat nulla. Ha a vektorok párhuzamosak és egy irányba mutatnak, a skalárszorzat a hosszaik szorzata. Ha ellentétes irányba mutatnak, a skalárszorzat a hosszaik szorzatának negatívja.

Egy másik, gyakran használt definíció a skalárszorzatra vektorok komponensei alapján történik. Ha a = (a1, a2, ..., an) és b = (b1, b2, ..., bn), akkor a · b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn. Ez a komponens-alapú definíció könnyebben számíthatóvá teszi a skalárszorzatot.

A skalárszorzat legfontosabb tulajdonságai a következők: kommutativitás (a · b = b · a), distributivitás (a · (b + c) = a · b + a · c) és asszociativitás skalárral való szorzás esetén (k(a · b) = (ka) · b = a · (kb)). Ezen tulajdonságok teszik lehetővé a skalárszorzat széles körű alkalmazását.

A skalárszorzatnak számos alkalmazása van. A fizikában például felhasználható a munka kiszámítására (munka = erő · elmozdulás), vagy két vektor közötti szög meghatározására. A lineáris algebrában a skalárszorzat alapvető szerepet játszik a vektorok ortogonalitásának vizsgálatában, a normálvektorok meghatározásában és a mátrixműveletekben.