skalarproduktet

Skalarproduktet, også kaldet prikproduktet eller dotproduktet, er en binær operation der tager to vektorer u og v i R^n og giver et tal. Det skrives ofte u · v eller ⟨u, v⟩. Hvis u = (u1, ..., un) og v = (v1, ..., vn) så er skalarproduktet u · v = Σ_i ui vi.

Geometrisk er skalarproduktet relateret til vektorernes længder og vinklen mellem dem: u · v = ||u|| ||v|| cos θ, hvor θ er vinklen mellem u og v i det n-dimensionale rum. Hvis θ = 90°, er u · v = 0. Hvis vektorerne er parallelle, er u · v positivt eller negativt afhængigt af retningen og størrelserne.

Egenskaberne: det er bilineært og kommutativt over de reelle tal: u · v = v · u; (αu + βw) · v = α(u · v) + β(w · v); og u · (v + w) = u · v + u · w. Desuden er relationen ||u|| = sqrt(u · u). For alle u og v gælder også, at |u · v| ≤ ||u|| ||v|| (skovars lighed).

Anvendelser: bruges til at beregne vinkel og længde, tjekke orthogonalitet og beregne projektionen af en vektor på en anden: proj_v u = (u · v / ||v||^2) v. Generelt er skalarproduktet en indreprodukt i R^n; i en ortonormal basis bliver u · v = Σ_i ui vi. I mere generelle rum udvides begrebet til indreprodukter.