separoituvuus

Separoituvuus on topologian käsite, jolla kuvataan tilan kykyä sisältää tiheän ja laskettavissa olevan joukon. Tila X on separoituva, jos siellä on laskettavissa oleva D ⊆ X sellainen, että sulkeuma(D) on koko X. D:tä sanotaan tiiviiksi tai tiheäksi X:ssä, ja käytännössä tarkoittaa sitä, että jokainen ei-tyhjä avoin joukko X:ssä leikkaa D:tä.

Metrisissä tiloissa separoituvuus on erityisen selkeä: tila on separoituva, jos sillä on laskettava tiheä joukko. Tämä on usein käytetty väite analyysissä ja topologyssä. Lisäksi jokainen separoituva metrisen tilan tila on second countable, ja toisaalta second countable -metrisellä tilalla on aina tiheä laskettava joukko; käytännössä separoituvuus ja toisinaan toisistaan erilliset, mutta läheisesti kytkeytyvät ominaisuudet ovat yhteydessä toisiinsa.

Esimerkkejä ovat esimerkiksi reaalilukujen järjellinen ja tavallinen topologia: rationaaliluvut Q ovat tiiviitä R:ssä, ja R on separoituva. Myös R^n on separoituva, samoin useimmat funktion tilat kuten l^2 tai L^p-tilat tietyillä mittauksilla. Toisaalta ei-separoituvia tiloja ovat esimerkiksi space of all bounded sequences l∞ ja monet ei-metrisoituvat tai äärettömän suuret tuotekasat.

Ominaisuus säilyy aliluokkien ja kuvauksien kautta: jokainen subtila on separoituva; jatkuva kuvaus separoituvasta tilasta on separoituva. Yleisten tulosten mukaan kuuden ja useamman erilaisten rakennelmien separoituvuus ei aina säily, ellei tilaa tai sen alikokoja rajoiteta, mutta useimmissa tavallisissa konteksteissa separoituvuus helpottaa analyyttisiä ja rakennetta koskevia todistuksia.