semidirecte

En théorie des groupes, le produit semi-directé (ou produit semi-direct) est une construction qui combine deux groupes G et H en tenant compte d’une action de H sur G par automorphismes. Pour une action φ: H → Aut(G), le produit semi-directé noté G ⋊φ H est l’ensemble G × H muni d’une multiplication définie par (g1, h1) · (g2, h2) = (g1 · φ(h1)(g2), h1 h2). On dit que H agit sur G par φ.

Le produit semi-direct est une généralisation du produit direct: si l’action φ est triviale (φ(h) = identité pour tout h), alors G ⋊φ H est isomorphe au produit direct G × H. À l’inverse, des actions non triviales donnent des structures non abéliennes qui ne se déduisent pas du seul G et H.

Dans la plupart des contextes, le produit semi-directé apparaît comme une extension scindée de G par H: il existe l’inclusion i: G → G ⋊φ H définie par i(g) = (g, e_H) et la projection p: G ⋊φ H → H définie par p(g, h) = h, et une section s: H → G ⋊φ H donnée par s(h) = (e_G, h). Cette décomposition montre que tout produit semi-directé est une extension de G par H qui “se scinde” (on peut retrouver G et H comme sous-groupes via i(G) et s(H)).

Exemples classiques: le groupe diédral D4 (ordre 8) est le produit semi-direct C4 ⋊ C2 avec l’action par inversion sur C4; le groupe S3 est le produit semi-direct C3 ⋊ C2, où C2 agit sur C3 par inversion.

Les classes d’isomorphisme des produits semi-directs dépendent de l’action de H sur G, et le produit diminue au produit direct lorsque l’action est triviale.