rotasjonsteorem

Rotasjonsteoremet er et begrep innen geometri og lineær algebra som beskriver egenskapene til rotasjoner i planet og i rommet. Hovedideen er at rotasjoner er isometriske transformasjoner som bevarer avstander og vinkler, og som kan beskrives som en rotering rundt et fast sentrum eller, i høyere dimensjoner, rundt en akse eller et sentralt punkt.

I planet beskrives en rotasjon om et sentrum O med vinkel θ. For et punkt P gir rotasjonen P' slik at OP' = Rθ(OP), der Rθ er 2×2-matrisen [cos θ, −sin θ; sin θ, cos θ]. Da P' = O + Rθ (P − O). En rotasjon bevarer avstander, vinkler og orientering, og den beskriver en regelmessig isometri av planet.

Gruppeegenskaper: Mengden Rot(O) = {Rθ | θ ∈ R} under sammensetning danner en abelsk gruppe som er isomorf med den sirkulære gruppen S^1. Dette betyr at alle rotasjoner rundt samme sentrum kan kombineres og deles inn i en kontinuerlig mengde av vinkler, med komposisjon som operasjon.

Høyere dimensjoner: Rotasjoner i R^n representeres av ortogonale matriser med determinant +1 (SO(n)). Komposisjon av rotasjoner gir nye rotasjoner, og enhver riktig rotasjon kan ofte faktoriseres i plane rotasjoner, for eksempel ved bruk av Givens-rotasjoner.

Historie og anvendelser: Rotasjonsteoremet stammer fra klassisk geometri og blir i dag en sentral del av lineær algebra, geometri og anvendte fag som datagrafikk, robotikk, fysikk og krystallografi, der bevaring av avstand og vinkel under bevegelser er viktig.