reunaarvojen

Reunaarvot ovat arvoja, joita funktio saa määrittelyalueensa reunalla. Suomenkielisessä matematiikassa puhutaan usein reuna-arvoista, ja monikossa reunaarvoista viitataan näihin arvoihin, kun kyse on useammasta reunaa koskevasta arvosta. Reunaarvot ovat keskeisiä käsitteitä reuna-arvotehtävissä, joissa ratkaisu määräytyy sekä differentiaaliyhtälön sisäpuolella että reunan arvojen perusteella.

Reuna-arvot määrittävät, millä ehdoin ratkaisu käyttäytyy reunan alueella. Yleisimmät tyypit ovat Dirichletin reuna-arvot, joissa annetaan funktion arvo reunan pisteissä, sekä Neumannin reuna-arvot, joissa määrätään funktion derivaattansa arvo reunan pisteissä. Osa ongelmista käyttää yhdistelmiä, kuten Robinin reuna-arvot, joissa sekä funktion arvoa että sen derivaattaa sovitetaan tiettyyn suhteeseen. Reunaarvot voivat olla sekä tarkasti määriteltyjä että epätarkempia, riippuen ongelman luonteesta.

Esimerkki: differentiaaliyhtälö y'' + y = 0 määritellään välillä [0, 2π] ja reunaarvot ovat y(0) = 0 sekä y(2π) = 0. Tällöin ratkaisu on y(x) = sin(x), joka täyttää sekä yhtälön että reunaarvot.

Tietokonemallinnassa reunaarvot asettavat reuna-alueen käyttäytymisen ja niitä käytetään diskretoinnissa, kuten finite difference- ja finite element -menetelmissä, joiden avulla ratkaisu määritellään reunapisteiden arvojen avulla. Reunaarvot ovat olennaisia niin teoreettisessa kuin soveltuvassa kontekstissa monilla fysiikan, tekniikan ja insinööritieteiden aloilla.

Lisätietoja: reunaarvot, reuna-ehtot, Dirichlet- ja Neumann-ongelmat.