prímszámtétele

A prímszámtétele a számelmélet egyik alapvető tétele, amely a prímszámok eloszlására vonatkozik. Megadja a prímszámok sűrűségének nagyságrendjét. A tételt először Carl Friedrich Gauss és Adrien-Marie Legendre fogalmazta meg, majd Jacques Hadamard és Charles Jean de la Vallée Poussin bizonyította be 1896-ban.

A tétel kimondja, hogy a prímszámok száma, amelyek kisebbek vagy egyenlők egy adott x valós számmal, megközelítőleg x / ln(x). Matematikai jelöléssel ezt így írjuk: $\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)}$, ahol $\pi(x)$ jelöli az x-nél nem nagyobb prímszámok számát, és ln(x) az x természetes logaritmusát jelenti.

Ez azt jelenti, hogy ahogy x növekszik, az $x / \ln(x)$ kifejezés egyre jobb közelítést ad a $\pi(x)$ értékére. A prímszámtétele nem ad pontos értéket, hanem a prímszámok előfordulási gyakoriságára utal. A tételnek számos fontos következménye van a számelméletben és a kriptográfiában.