projektiooperaatioiden

Projektio-operaatiot ovat lineaarisia operaattoreita P, jotka toteuttavat ehtoja P^2 = P. Tällöin P on idempotentti ja jakaa vektorit kahteen osaan: Im(P) eli projektoituvan alialan sekä Ker(P) eli sen komplementin. Jokainen vektori v voidaan kirjoittaa yksikäsitteisesti muodossa v = w + u, missä w ∈ Im(P) ja u ∈ Ker(P). Tällöin P(v) = w, eli v projisoidaan Im(P)‑osaan kohti Ker(P)‑tulevia suuntia.

Ortogonaaliprojektion

Jos vektoritilassa on määritelty sisäavaruus, ortogonaalinen projektion P on itseadjointi (P^T = P) ja idempotentti. Tällöin P projisoi v:n siihen alaan, johon Im(P) kuuluu, ortogonaalisesti Ker(P):n suhteen. Kun subavaruus W, jonka piiriin projektoidaan, on kuvattavissa ortonormaaleilla perusteilla Q, projisoivan matriisin voi kirjoittaa P = Q Q^T. Vaihtoehtoisesti, jos W:n kanta koostuu sarakkeista A, ja A on täysi sarakkeen rank, P = A (A^T A)^{-1} A^T.

Epäsuora (oblique) projektion

Epäsuora projektion vastakohta ortogonaaliselle projektiolle projisoi v:n subspaceen W sen muiden kuin ortogonaalisen komplementin U kautta, jolloin V = W ⊕ U. Tällöin P(v) = w, kun v = w + u, ja v projisoidaan W:iin sen mukaan, miten valittu komplementti U määritellään. Epäsuora projektion matriisi riippuu valitusta komplementista ja pohjasta.

Ominaisuudet

P on idempotentti, joten sen spektri koostuu on seuraavista arvoista 0 ja 1. Im(P) on P:n joukko kiinteitä pisteitä ja Ker(P) niiden, jotka viedään nollaksi. Nämä ominaisuudet pitävät sekä abstraktissa että konkreettisessa lineaarisessa algebrassa tärkeinä.

Sovellukset

Projektio-operaatioita käytetään esimerkiksi least-squares -menetelmissä, vektoreiden erottamisessa osiin im(P) ja ker(P), sekä tietokonegrafiikassa ja signaalinkäsittelyssä, joissa halutaan projisoida data tiettyyn alaan tai kohdistaa tulokset tiettyyn subtilaan.