projeksjonsoperator

En projeksjonsoperator, eller projeksjonsavbildning, er en lineær operator P: V → V på et vektorrom V som oppfyller P^2 = P. Den representerer en projeksjon av V på et underrom W = Im P langs et komplementært underrom U = Ker P, slik at hvert v i V kan skrives unikt som v = w + u med w ∈ W og u ∈ U.

I slike tilfeller er V et direkte sum av W og U: V = Im P ⊕ Ker P. Egenskapen P^2 = P gir at egenverdiene er 0 eller 1. Dersom P også er selvadjoint (P = P* i et indreproduktrom), er projeksjonen ortogonal, og W er lik (Ker P)⊥.

Et eksempel er P = diag(1, 1, 0) i R^3, som projiserer vektorer på xy-planet langs z-aksen. Mer generelt er en projeksjon til et underrom W langs et komplement U en lineær map der Im P = W og Ker P = U og V = W ⊕ U. I en ortogonal projeksjon er U = W⊥.

Konstruksjon: for et underrom W med en kolonnebasis B som spenner opp W, hvor kolonnene er lineært uavhengige, er P = B (B^T B)^{-1} B^T en projeksjon på W. Når kolonnene er orthonormaliserte, blir P = B B^T. Anvendelser inkluderer minste kvadraters løsning, grafikk, signalbehandling og statistikk.