potenciálelmélet

Potenciálelmélet a matematikai analízis egyik ága, amely a potenciálok, energiák és harmonikus funkciók viselkedését vizsgálja. A klasszikus megközelítés a Laplace-operátorhoz kapcsolódó harmonikus függvényekre és a Newtoni, illetve logaritmikus potenciálokra épül. A cél a különböző erőterek matematikai modellezése, a Dirichlet-probléma megoldása és az energiák összefüggéseinek feltárása.

Fő fogalmai közé tartoznak a harmonikus, szubharmonikus függvények, a Green-függvény és a Poisson-kernel, valamint a Dirichlet- és Neumann-problémák megoldásának elvei. A potenciálok gyakran mértékek segítségével írhatók: U^μ(x) = ∫ G(x,y) dμ(y), ahol G a megfelelő kernel, μ pedig egy mérték. Az energia E(μ) = ∫∫ G(x,y) dμ(x) dμ(y) vagy ennek megfelelő formája központi szerepet játszik a minimális energia elméletében.

Kapcsolódó fogalmak a kapacitás és az egyensúlyi mérték, a balayage-technika és a potenciál-terjesztés elmélete. A potenciálelmélet hagyományos eszközei között megtalálhatók a Green-függvények a határérték-problémákban és a síkban a logaritmikus potenciál különösen fontos szerepe.

Kapcsolatok a komplex analízissel: a síkon a harmonikus függvények a analitikus függvények valós részei, a logaritmikus potenciál pedig fontos eszköz a viselkedés és a modulusz vizsgálatában. A modern potenciálelmélet és a probabilisztikus potenciálelmélet összefonódik Brown-mozgással és a harmonikus mértékkel, amelyek a határértékek leírását adják. Alkalmazások: fizika, elektrosztatika, gravitáció és a PDE-elmélet, valamint a valószínűség területén.