polynomiyhtälö

Polynomiyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon x esiintyy polynomissa. Yleinen muoto on P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, jossa a_n ≠ 0. Kertoimet a_i ovat tavallisesti reaalilukuja, mutta voidaan ajatella myös kompleksilukuja. Yhtälö P(x) = 0 on ratkaistava; ratkaisut x kutsutaan juuriksi.

Juuret ovat ne arvojoukot x, joille polynomissa oleva lauseke on nolla. Polynomin aste n määrää mahdollisten juurien lukumäärän ja laadun. Reaali-juuria voi olla enintään n, mutta yliolennollisesti reaali ja kompleksinen käyvät vuorotellen. Fundamental theorem of algebra takaa, että kaikkia kompleksijuuria on täsmälleen n, kun otetaan monikertaisuudet huomioon. Reaaliympäristössä juuret voivat olla realisoidun lisäksi parittomia, ja ei-reaaliset juuret esiintyvät komplekspareina.

Ratkaisutapoja on useita. Yleisiä keinoja ovat tekijöihin jakaminen ja polynomin arvoitus muotoon (x − r_1)(x − r_2)…(x − r_n), jolloin juuret ovat r_i. Toisen asteen polynomien ratkaisu tunnetaan kaavalla x = [-b ± sqrt(b^2 − 4ac)]/(2a). Monien asteiden tapauksissa käytetään jakamisesta, rationaalisten juurten testauksesta (riippuu teoreemasta), sekä numeerisia menetelmiä kuten Newtonin menetelmä tai välihaun menetelmät pitkiä polynomeja ratkaistaessa.

Esimerkki: x^2 − 5x + 6 = 0 = (x − 2)(x − 3) antaa juuret x = 2 ja x = 3.

Polynomiyhtälöt ovat keskeisiä algebraalisessa ratkaisussa ja niitä sovelletaan fysiikassa, insinööritieteissä, taloustieteessä sekä tietojenkäsittelyssä.