polynomiaalit

Polynomiaalit ovat matemaattisia ilmaisuita ja funktioita, jotka muodostuvat summasta a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0. Kertoimet a_i voivat olla reaali- tai kompleksilukuja, ja x on muuttuja. Polynomiaalin suurin indeksi n, jolla a_n ≠ 0, määrittää polynomin asteen. Esimerkiksi p(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7 on neljännen asteen polynomi.

Lineaarinen polynomi on muoto mx + b, kvadraatti ax^2 + bx + c, ja ylemmät asteet ovat tämän jatkoa. Nollakohdat eli juuret ovat ne x-arvot, joille p(x) = 0. Kun x = r on nollakohta, tekijä (x - r) voidaan sisällyttää polynomin tekijämuodostelmaan. Nollakohtia voi olla useita, ja ne voivat olla yksittäisiä tai monikertaisia; polynomista voidaan puuttua tekijöiden tulona.

Fundamentalinen lause algebra toteaa, että jokaisella polynomilla, jonka aste on n ≥ 1 ja jonka kertoimet ovat kompleksilukuja, on täsmälleen n juurta lukumäärä kertolaskujen mukaan. Se mahdollistaa polynomin kirjoittamisen tuotteen muodossa p(x) = a_n (x - z_1)...(x - z_n), missä z_i ovat kompleksijuuret.

Polynomiaalit ovat jatkuvia ja derivoituvia; niiden derivaatta on myöskin polynomille kuuluva lause. Niiden käyttö ulottuu mallintamiseen, interpolaation ja numeerisiin ratkaisuihin sekä moniin tieteellisiin ja insinööritieteellisiin sovelluksiin.