polinomokról

A polinom egy olyan algebrai kifejezés, amelyben a változóra vonatkozó hatványok természetes számok, és amelynek koefficiensei egy adott test vagy gyűrű elemei. Egy változóra írt polinom tipikus alakja P(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + … + an x^n, ahol n ≥ 0 és an ≠ 0. Az n a polinom foka, az an a vezetőkoefficiens. Polinomokat gyakran polinomfüggvényekként értelmezzük, ha x-re értékeljük őket.

Zérók (gyökök) azok a számok c, amelyekre P(c) = 0. Ha P(c) = 0, akkor (x − c) osztója P-nek. Amikor a koefficiensek a valós számok, a polinom gyökei lehetnek valós vagy komplex számok; a komplex gyökök teljes halmazáról az alapvető algebrai tétel gondoskodik: egy n fokú polinomnak a komplex számok felett pontosan n gyöke van, multiplicitásokkal számolva.

A polinomokra műveletek végezhetők: összeadás, kivonás, szorzás és osztás (maradékos osztás). Osztáskor P = Q·D + R áll fenn, ahol D ≠ 0 és deg R < deg D. Ennek köszönhető a faktorizáció: P(x) a gyökei lineáris tényezők szorzataként felbontható, például P(x) = an ∏i (x − ri) a komplex gyökök szerint.

Jellemző tulajdonságaik közé tartozik a folytonosság és az, hogy végtelen sokszor deriválhatók. A vezető tag meghatározza a polinom viselkedését nagy értékek mellett. A polinomokat széles körben használják megoldások közelítésére, interpolációra és numerikus módszerekre.