Polinomokat

Polinomok olyan algebrai kifejezések, amelyek véges számú monomok összegeként írhatók. Egy változóra írva általában a következő alakban adhatók meg: P(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + ... + an x^n, ahol n ≥ 0 és a_n ≠ 0. Az ai a koefficiensek; a0 a konstans tag, az a_n pedig a vezető koefficiens. A polinomok lehetnek valós vagy komplex koefficiensűek; a nulla polinom esetén minden koefficiens 0.

Műveletek és tulajdonságok: polinomok összeadása és kivonása koefficiensenként történik; szorozhatók és oszthatók skalárral vagy egymásra is. A polinomok halmaza i egy gyűrűt alkot a választott koefficienskészlet felett. A fok vagy rend P(x) legmagasabb kifejezett x^k tag fokszáma, és ha minden koefficiens 0, a polinom a zérus polinom, amelynek nincs meghatározott fok.

Gyökök és faktorizáció: ha P(r) = 0, akkor r a polinom gyöke; a gyökök lehetnek valós vagy komplex számok, és előfordulhatnak többszörösen (multiplicitás). A polinomokat gyakran fel lehet bontani lineáris tényezőkre vagy irreducibilis tényezőkre, és ezt a folyamatot faktorizációnak hívják. Az alapvető algebrai tétel szerint a komplex számok felett minden nem állandó polinom felbontható lineáris tényezőkre, és összegképpen n darab gyöke van, ha az n-ed fokú polinomot nézzük.

Alkalmazások és példák: polinomokat széles körben alkalmaznak közelítésekben (Taylor- vagy Maclaurin-sorok), interpolációban (pl. Lagrange-polinom), grafikonok készítésében és numerikus számításokban. Különösen fontosak számítógépes algebrai rendszerekben és elméleti matematikában, ahol a polinomok alapvető eszközök a közelítések és megoldások meghatározásához.