perusyhtälöissä

Perusyhtälöissä tarkoitetaan matemaattisia yhtälöitä, joissa etsitään tuntemattomien arvojen ratkaisuja käyttämällä peruslaskutoimituksia. Niissä on tavallisesti pieni määrä muuttujia ja rakenteeltaan yksinkertaisia operaatioita. Yleisimpiä ovat lineaariset yhtälöt, toisen asteen polynomiyhtälöt sekä pienet järjestelmät, joissa on useampia tuntemattomia.

Lineaariset yhtälöt voivat olla yksittäisen muuttujan tasolla tai useamman muuttujan järjestelmänä. Esimerkki yhdellä muuttujalla on muoto ax + b = c, josta ratkaisu sekä x = (c − b)/a (olettaen a ≠ 0) kuin vastaavat muotokohdat useamman muuttujan tapauksessa. Järjestelmässä ratkaisuja etsitään arvoille x1, x2, ..., xn; ratkaisu voi olla ainutkertainen, useita tai puuttua riippuen järjestelmän rakenteesta.

Järjestelmiä ratkaistaessa käytetään tyypillisesti erottamista, substituutiota sekä Gaussin eliminointia tai yleisemmin matriisimuotoja, kuten Gauss-Jordanin menetelmää. Lineaarisia järjestelmiä voidaan esittää matriisimuodossa ja ratkaista käänteismatriisin tai singulaarisuutta koskevien käsitteiden avulla.

Toisen asteen polynomiyhtälöillä on muoto ax^2 + bx + c = 0, ja ratkaisut voidaan ilmentää neliöjuurijärjestelmän avulla: x = (-b ± sqrt(b^2 − 4ac)) / (2a) (olettaen, että a ≠ 0). Diskriminantti b^2 − 4ac määrittää juurien lukumäärän ja luonteen.

Perusyhtälöt muodostavat algebraopin keskeisen perustan ja tarjoavat työkalut sekä teorian että sovellusten ratkaisemiseen fysiikassa, taloudessa ja muilla aloilla. Niiden hallinta antaa pohjan monimutkaisemmille matematisille käsitteille.