permutaatiomatriisit

Permutaatiomatriisit ovat neliömatriiseja, joissa jokaisella rivillä ja jokaisella sarakkeella on täsmälleen yksi ykkönen ja muut alkiot ovat nollia. Ne edustavat lineaarisia transformaatioita, jotka permutoivat (järjestyksen muuttavat) vektorin alkioita. Jokainen permutaatiomatriisi vastaa yhtä permutaatiota, eli tapaa, jolla joukon alkioita voidaan järjestää uudelleen.

Kun permutaatiomatriisi kerrotaan vektorilla, vektorin alkioiden paikat vaihtuvat matriisin määräämän permutaation mukaisesti. Esimerkiksi, jos P on permutaatiomatriisi, joka vaihtaa vektorin x ensimmäisen ja toisen alkion paikkaa, niin Px-vektorin ensimmäinen alkio on x:n toinen alkio ja toinen alkio on x:n ensimmäinen alkio.

Permutaatiomatriisit ovat ortogonaalisia matriiseja, mikä tarkoittaa, että niiden käänteismatriisi on sama kuin niiden transpoosi. Tämä ominaisuus tekee niistä hyödyllisiä erilaisissa laskennallisissa ja teoreettisissa sovelluksissa, kuten algoritmien analyysissä ja kvanttilaskennassa. Permutaatiomatriisien determinantti on aina +1 tai -1, riippuen siitä, onko permutaatio parillinen vai pariton. Parillinen permutaatio vastaa determinanttia +1 ja pariton determinanttia -1.