periodogrammi

Il periodogramma è una stima non parametrica della densità spettrale di potenza di un segnale discreto nel tempo. Data una sequenza x[n], n = 0,…,N−1, il periodogramma p_x(f) è definito come p_x(f) = (1/N) |X(f)|^2, dove X(f) = ∑_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j 2π f n}. Se si usa la trasformata discreta di Fourier, si ottiene la versione p_x[k] = (1/N) |X[k]|^2 con X[k] = ∑_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j 2π k n / N} e l’asse delle frequenze f_k = k/N. Il periodo di analisi è spesso riferito in termini di frequenze normalizzate o in cicli per campione.

Proprietà e limiti: il periodogramma è una stima diretta della potenza spettrale, ma non è esente da bias né da alta varianza per campioni finiti. L’aspettativa di p_x(f) è generalmente la densità spettrale reale convoluta con un kernel di Fejér, quindi è biased. Inoltre la varianza non si riduce semplicemente al crescere di N, rendendo comune l’uso di tecniche di smoothing o di aggregazione per ottenere stime più stabili.

Metodi per migliorare l’estimazione: una pratica comune è l’applicazione di finestre (windowing) prima del calcolo del periodo, ad esempio Hann, Hamming o Blackman, per ridurre l’effetto leakage spettrale. Per ridurre la varianza, si impiegano approcci come Bartlett (dividere il segnale in segmenti e media i periodogrammi), Welch (segmentazione sovrapposta) e metodi multitaper (più finestre ortogonali). Queste tecniche producono stime più robuste della PSD.

Applicazioni: il periodogramma è ampiamente usato nell’analisi spettrale di segnali audio, comunicazioni, geofisica e serie temporali, per identificare componenti frequenziali, rumore e periodicità.