pentagonalnummer

Pentagonalzahl ist eine Figurennummer, die aus der Anordnung von Punkten entsteht, die ein regelmäßiges Fünfeck bilden. Die n-te Pentagonalzahl ergibt sich aus der Formel P(n) = n(3n − 1)/2 für n ≥ 1 und liefert eine Folge von ganzzahligen Werten.

Die ersten Terme sind: P(1) = 1, P(2) = 5, P(3) = 12, P(4) = 22, P(5) = 35, P(6) = 51, P(7) = 70, P(8) = 92, P(9) = 117, P(10) = 145. Die Folge gehört zu den polygonalen Zahlen, die durch das regelmäßige Fünfeck als Grundform visualisiert werden können.

Eigenschaften: Pentagonalzahlen wachsen quadratisch mit der Zunahme von n; die Differenzen P(n) − P(n−1) ergeben 3n − 2. Die Formel lässt sich auch aus dem allgemeinen Polygonzahlenschema P(k, n) = ((k − 2)n^2 − (k − 4)n)/2 ableiten, wobei hier k = 5 vorliegt.

Verwandte Konzepte: Es existieren auch zentrierte Pentagonalzahlen, die durch C5(n) = (5n^2 − 5n + 2)/2 beschrieben werden; diese bilden eine andere Sequenz: 1, 6, 16, 31, 51, … Außerdem spielen Pentagonalzahlen eine Rolle in der Zahlentheorie, insbesondere im Kontext der Pentagonalzahlensatz von Euler, der die Darstellbarkeit von ganzen Zahlen durch Generierungsfunktionen für Partitionen beschreibt. Die allgemeine Pentagonalzahl g_k = k(3k − 1)/2 gilt für alle ganzen Zahlen k, einschließlich negativer Werte, und taucht in der Theorie der Partitionen auf.