ortogonointimenetelmistä

Ortogonointimenetelmistä viittaa joukkoon lineaarialgebran ja matemaattisen analyysin tekniikoita, joita käytetään muuntamaan vektoriavaruuden kanta ortogonaaliseksi tai ortonormaaliksi kannaksi. Tällainen kanta on erityisen hyödyllinen monissa numeerisissa ja teoreettisissa sovelluksissa, koska se yksinkertaistaa laskelmia ja parantaa algoritmien stabiilisuutta.

Yleisin ja tunnetuin ortogonointimenetelmä on Gram-Schmidt-prosessi. Tämä prosessi ottaa annetun lineaarisesti riippumattoman joukon vektoreita ja rakentaa niistä uuden joukon ortogonaalisia vektoreita, jotka virittävät saman aliavaruuden. Prosessi etenee iteratiivisesti. Jokainen uusi ortogonaalinen vektori saadaan vähentämällä edellisistä ortogonaalisista vektoreista niiden projektioita nykyisestä vektorista. Jos halutaan ortonormaali kanta, eli kanta, jossa kaikki vektorit ovat paitsi ortogonaalisia myös yksikkövektoreita, ortogonaaliset vektorit normalisoidaan jakamalla ne niiden pituudella.

Muita ortogonointimenetelmiä tai niihin liittyviä käsitteitä ovat esimerkiksi QR-hajotelma, jossa matriisin sarakkeista muodostettu kanta ortogonalisoidaan, ja Fredholmin integraaliyhtälöiden ratkaisemisessa käytettävät menetelmät, jotka hyödyntävät ortogonaalisuutta. Ortogonaaliset kannat ovat keskeisiä esimerkiksi Fourier-analyysissä ja pienimmän neliösumman menetelmissä, joissa data projisoidaan ortogonaalisille perustervektoreille.