ortogonaaliryhmälle

Ortogonaaliryhmä on ryhmä lineaarisia operaattoreita, jotka säilyttävät sisätulon. Tämä tarkoittaa, että jos $A$ on ortogonaalinen operaattori ja $v$ ja $w$ ovat vektoreita, niin $(Av) \cdot (Aw) = v \cdot w$. Ortogonaaliset operaattorit kuvaavat siis vektoreita siten, että niiden välinen kulma ja pituudet säilyvät. Yleensä ortogonaaliryhmä liitetään vektoriavaruuteen, jossa on määritelty sisätulo. Reaalisten vektoriavaruuksien tapauksessa ortogonaaliset operaattorit vastaavat isometrioita, jotka säilyttävät etäisyyden origosta.

Matriisien tapauksessa ortogonaalinen operaattori vastaa ortogonaalista matriisia. Neliömatriisi $Q$ on ortogonaalinen, jos sen käänteismatriisi on sama kuin sen transpoosi, eli $Q^T Q = QQ^T = I$, missä $I$ on identiteettimatriisi. Tällaiset matriisit edustavat kiertoja ja peilauksia euklidisessa avaruudessa. Ortogonaaliryhmä on olennainen käsite monilla matematiikan ja fysiikan aloilla, kuten lineaarialgebrassa, geometriassa, kvanttimekaniikassa ja signaalinkäsittelyssä. Sen ominaisuuksia hyödynnetään muun muassa koordinaatistomuunnoksissa ja erilaisten symmetrioiden analysoinnissa.