offdiagonaalisien

Offdiagonaalisien elementtien käsite viittaa matriisin ei-päädiagonaalisiin arvoihin. Olkoot matriisi A, kooltaan n×n, ja sen päädiagonaali koostuu elementeistä a_11, a_22, ..., a_nn. Offdiagonaaliset elementit ovat kaikki a_ij, joissa i ≠ j. Esimerkiksi 3×3-matriisissa [ [a, b, c], [d, e, f], [g, h, i] ] ovat offdiagonaaliset a_12, a_13, a_21, a_23, a_31 ja a_32, kun taas diagonaaliset ovat a_11, a_22 ja a_33.

Käytännössä offdiagonaaliset elementit kuvaavat usein vuorovaikutuksia tai yhteyksiä kahden eri muuttujan välillä. Grafiteoriassa adjacency-matriisissa ne ilmaisevat reittejä kahden kärjen välillä, ja reunoja voi olla vain diagonaalin ulkopuolella. Tilastotieteessä kovarians- ja korrelaatiomatriisit voivat sisältää off-diagonaalisia arvoja, jotka kertovat muuttujien riippuvuuksista. Fysiikassa offdiagonaaliset termit voivat vastata vuorovaikutuksia tai siirtymäkertoimia, joiden avulla määritellään tilan muutoksia.

Ominaisuudet ja huomioitavaa: jos kaikki offdiagonaaliset elementit ovat nolla, matriisi on diagonaalinen, mikä yksinkertaistaa monia laskuja ja teorioita. Jos matriisi on symmetrinen, a_ij = a_ji, jolloin off-diagonaaliset parit ovat yhteneviä. Frobenius-normi voidaan jakaa diagonaaleihin ja off-diagonaaleihin, mikä auttaa mittaamaan kokonaisvuorovaikutusta. Sparsissa joustavissa laskuissa pienet tai nollat off-diagonal-alueilla parantavat suorituskykyä.

Käytännöllisesti ottaen termi “offdiagonaalisia” esiintyy laajasti matriisialgebrassa ja sovelluksissa, joissa halutaan kuvata, kuinka voimakkaasti erilliset komponentit ovat toisistaan riippuvaisia tai vuorovaikutuksessa.