nollaryhmät

Nollaryhmä, monikossa nollaryhmät, on ryhmä, jossa on ainoastaan yksi alkio. Tämä ainoa alkio toimii sekä identiteettinä että tuloksena kaikissa suorituksissa, joten e ∗ e = e. Ryhmän järjestys on yksi.

Nollaryhmä on yksinkertainen esimerkki kaikille ryhmille: kaikki nollaryhmät ovat keskenään isomorfisia, eli on olemassa vain yksi ryhmätyyppi, jonka alkiot ovat vain sama identiteetti. Tästä seuraa, että nollaryhmä on sekä pienin että luontevin tapa muodostaa yksittäisen alkion ryhmän.

Kategorisessa mielessä nollaryhmä on ryhmien terminaaliobjekti: mille tahansa ryhmälle G on olemassa täsmällinen ainoa homomorfismi G → {e}, joka lähettää jokaisen alkion identiteettiin. Vastaavasti ainut homomorfismi {e} → G lähettää tämän ainoan alkion G:n identiteettiin. Lisäksi G × {e} on luonnollisesti iso G: n kanssa, eli G × {e} ≅ G.

Aliryhmät: nollaryhmän ainoa aliryhmä on itsensä. Mikä tahansa ryhmä sisältää yksinkertaisen nollaryhmän aliryhmän {e}, ja nollaryhmä on täten normaali aliryhmä kaikissa ryhmissä.

Merkitseminen ja esimerkit: additiivisessa merkinnässä nollaryhmä kirjoitetaan usein {0}; kertolaskussa se vastaa yksikköä 1. Nollaryhmä on sekä abeli että yksinkertainen esimerkki ryhmän rakenteesta, ja se toimii keskeisenä mallina sekä teorian että sovellusten perusosana.