muunduste

Muundus (muundused) on matemaatikas ja infotehnoloogias kasutatav mõiste, mis kirjeldab reeglit või funktsiooni, mis iga lähte hulka X kuuluva elemendi määrab teise hulka Y. Enamasti esitatakse muundus kui f: X → Y, kuid see võib kajastada ka ruumide või andmekogumite struktuuri säilitavaid operatsioone.

Geomeetrilised muundused hõlmavad ruumilisi operatsioone nagu nihutamine, pööramine ja peegeldus, samuti skaleerimist ja nende kombinatsioone. Lineaarne muundus on eriliik, mida kirjeldatakse f(v) = Av, kus A on mahuväline maatriks ja v on vektor ruumis. Afine muundus lisab lineaarsele muundusele sihtvektori b: f(x) = Ax + b. Endomorfism on muundus X → X, mis säilitab teatud ruumiliselt või struktuuriliselt olulise omaduse; automorfism on bijekti endomorfism, mille lähte- ja sihthulk on sama.

Omadused ja klassifikatsioonid: muundused võivad olla invertitavad; kui olemas on vastemuundus f⁻¹: Y → X, on muundus invertiivne. Kui muundus on bijekti ja mõnes kontekstis struktuuri säilitav, nimetatakse seda isomorfismiks; kui lähte- ja sihthulk on sama, on see automorfism. Muundusi kirjeldatakse sageli maatriksi või kaardistuse kaudu, eriti lineaarse ja afiinse muunduse korral.

Rakendused: muundused on keskseid mõisted geomeetras, arvutigraafikas, robotite liikumise planeerimises ja andmeteaduses. Nendega muudetakse koordinaate, normaliseeritakse andmeid, simuleeritakse ruumilisi muudatusi ning viimistletakse mudelite koolituse või kujunduste töötamist.