murtumiskertoimista

Murtumiskertoimet, eli murtolukukertoimet, ovat matemaattisia objekteja, jotka laajentavat perinteisten kokonaislukukertoimien käsitettä. Ne ovat keskeisiä algebran tutkimuksessa ja niillä on sovelluksia monilla matematiikan aloilla, kuten lukuteoriassa ja algebrallisessa geometriassa. Murtumiskertoimilla voidaan kuvata esimerkiksi polynomien ja niiden juurien ominaisuuksia. Ne ovat yleistyksiä esimerkiksi rationaalilukujen ja reaalilukujen kertoimista.

Yksinkertaisimmillaan murtumiskertoimien rengas on rationaalilukujen joukko, jota merkitään usein symbolilla Q. Tässä tapauksessa kertoimet ovat muotoa a/b, missä a ja b ovat kokonaislukuja ja b ei ole nolla. Rationaalilukukertoimet muodostavat kentän, mikä tarkoittaa, että niissä on määritelty yhteen- ja kertolasku, ja useimmilla alkioilla on käänteisalkio kummankin operaation suhteen.

Yleisemmin murtumiskertoimet voivat muodostaa renkaan, joka ei ole kenttä. Tällaisia renkaita kutsutaan murtumiskehiksi. Murtumiskehät ovat tärkeitä tutkittaessa polynomisysteemejä, joissa kertoimet eivät välttämättä ole algebrallisesti suljetussa kentässä. Esimerkiksi algebrallisten kokonaislukujen rengas, jota merkitään usein symbolilla Z[α], missä α on jonkin polynomin juuri, on murtumiskehä. Näillä rakenteilla on merkitystä esimerkiksi algebrallisten lukukenttien teoriassa.