monotonitás

Monotonitás (monotonicitate) este proprietatea unui obiect matematic de a păstra ordinea sau de a o inversa într-un anumit context. În analiză, este utilizată în mod frecvent pentru funcții, secvențe și perechi de elemente dintr-un ordin.

Definiții. O funcție f: I → R, definită pe un interval I, este monotone crescătoare dacă pentru toate x și y din I cu x ≤ y avem f(x) ≤ f(y). Este strict crescătoare dacă x < y → f(x) < f(y). O funcție este monotone descrescătoare dacă x ≤ y → f(x) ≥ f(y) (strict descrescătoare când x < y → f(x) > f(y)).

O secvență (a_n) este monotone crescătoare dacă a_{n+1} ≥ a_n pentru toate n; monotone descrescătoare dacă a_{n+1} ≤ a_n. Se folosesc și termeni nondecreasing/nonincreasing pentru versiunile non-stricte.

Proprietăți. Funcțiile monotone pe un interval au cel mult discontinuități de salt; o funcție monotone și limitată este de asemenea limitată în sensul dreptului și stângului la fiecare punct. O secvență monotone limitată converge; în caz contrar, se poate diverge către +inf sau -inf.

În teoria ordinii, o aplicație între două mulțimi parțial ordonate este monotone (preservă ordinea) dacă x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y). În analiză numerică și optimizare, operatorii monoponi sunt studiați pentru proprietăți de vârf și convergență.

Exemple. F(x) = x^3 este monotone crescătoare pe R; F(x) = -x este monotone descrescătoare. Secvența a_n = 1 − 1/n este monotone crescătoare și converge către 1; secvența a_n = (−1)^n nu este monotone.

---