monotonicitásra

Monotonitás (monotonitás) a matematikában olyan tulajdonság, amely szerint egy függvény-, sorozat- vagy más leképezés megőrzi a rendezést. Két alapvető formája van: növekvő és csökkenő. Szigorúan monotonitás akkor, ha x < y esetén szigorúan f(x) < f(y) vagy f(x) > f(y).

Függvényeknél egy intervallumon f növekvő, ha x1 ≤ x2 esetén f(x1) ≤ f(x2); csökkenő, ha x1 ≤ x2 esetén f(x1) ≥ f(x2). Szigorúan növekvő/csökkenő, ha az egyenlő feltételek csak x1 = x2 esetén fordulnak elő. Példák: f(x) = x növekvő függvény; f(x) = -x csökkenő; f(x) = x^3 szigorúan növekvő; f(x) = |x| nem monotone az egész R-en, de az (-∞,0] és [0,∞) részhalmazokon monocentrikus.

Sorozatoknál a_n növekvő, ha a_n ≤ a_{n+1} minden n-re; csökkenő, ha a_n ≥ a_{n+1}. Ha egy monoton sorozat korlátozott, akkor konvergens. A monotónia és a korlátozottság együtt garantálja a határértéket.

Tulajdonságok: egy monoton függvényre a zárt intervallumokon legfeljebb ugrásokkal történő diszcontinuitások jellemzők; a monotone függvényeknek véges a változásuk a vizsgált intervallumon. A monotonitás fontos eszköz az analízisben, az optimalizációban és a valószínűség- és számítástudományban, mert megkönnyíti a következtetéseket és a konvergencia vizsgálatát.