monotonicità

La monotonicità è una proprietà di funzioni o di sequenze rispetto all’ordine dei loro argomenti. In analisi reale, una funzione f definita su un intervallo I è monotona se, per ogni coppia di punti x < y in I, vale una delle seguenti condizioni: f(x) ≤ f(y) per una monotonia crescente (o non decrescente) e f(x) ≥ f(y) per una monotonia decrescente (o non crescente). Se le disuguaglianze sono sempre strettamente inequality, si parla di strettamente crescente o strettamente decrescente.

Proprietà principali: una funzione monotona su un intervallo chiuso [a,b] è limitata; esistono i limiti alle estremità, cioè lim_{x→a+} f(x) e lim_{x→b-} f(x). Le eventuali discontinuità di una funzione monotona sono di tipo salto e sono al massimo numerabili; in ogni punto esistono anche i limiti sinistro e destro. Una funzione monotona è di variazione finita sul [a,b], con var(f,[a,b]) = |f(b) − f(a)|.

Derivate: una funzione monotona è differenziabile quasi ovunque (secondo la teoria di Lebesgue); dove esiste, la derivata soddisfa f′(x) ≥ 0 per una funzione crescente e f′(x) ≤ 0 per una funzione decrescente. Non implica però assoluta regolarità; esistono esempi monotoni continui ma non assolutamente continui.

Sequenze: una sequenza monotona che cresce o diminuisce converge; se è limitata, converge a sup o inf della sequenza.

Applicazioni: la monotonicità fornisce strumenti utili per stimare limiti, studio dei comportamenti agli estremi degli intervalli e proprietà di variazione, nonché formulazioni in teoria dell’integrazione e in teoria delle funzioni, tra cui risultati di convergenza monotona in ambito integrale.