minimització

Minimització és el procés de trobar el punt dins d’un domini on una funció objectiu pren el seu valor mínim. En matemàtiques i en disciplines com l’enginyeria, l’economia i la ciència de dades, és una part central de l’optimització. En un problema típic s’intenta minimitzar f(x) subjecte a x pertanyent al domini D, que pot incloure restriccions d’igualtat o desigualtat. El mínim global és el valor més petit que f pot assolir en tot l’espai D; els mínims locals són punts on f és més petit que en entorns properes, però que poden no ser globals.

Tipus i propietats bàsics: els problemes de minimització poden ser, a priori, globals o locals. Si la funció és convexa i l’espai de viabilitat és convex, llavors qualsevol mínim local és global, i és més senzill establir existència i unicitat del mínim. L’estudi de les condicions òptimes, com les desigualtats de KKT, permet determinar quan un punt és òptim en problemes amb restriccions.

Mètodes: per problemes sense restriccions, s’utilitzen tècniques analítiques (derivades, punts estacionaris) i mètodes numèrics com descens de gradients, mètodes de Newton o variants. Per problemes amb restriccions, s’utilitzen mètodes de programació lineal o no lineal, solució per multipliers de Lagrange, mètodes interior-point i altres tècniques d’optimització amb restriccions. En problemes no convexos, sovint s’apliquen tècniques heurístiques o de relaxació.

Aplicacions: la minimització és essencial en aprenentatge automàtic (minimització de pèrdues), disseny de sistemes, economia i enginyeria, planificació de recursos i reducció de costos. Exemples inclouen minimitzar la pèrdua de predicció d’un model o reduir el cost de producció subjecte a limitacions de capacitat.