metrikákat

A metrikák a matematika és kapcsolódó területek fogalmai közül az elemek közötti távolság vagy általános mérték meghatározását jelölik. A kifejezés a görög metron ("mérték") szóból származik, és a metrika olyan függvényt jelöl, amely két elem között adja meg a távolságot. Eltérő alkalmazásokban a metrika különböző tulajdonságokat vesz figyelembe, de minden esetben a távolságérzetet adja.

Definíció: Ha X halmaz és d: X×X → R≥0 olyan függvény, amelyre minden x,y∈X-re teljesül: d(x,y)=0 akkor és csak akkor, ha x=y; d(x,y)=d(y,x); d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) háromszög-egyenlőtlenség. Ezzel a d függvénnyel az X halmazból a párokat egy metrikus térként rendezhetjük elő.

Példák: Euklideszi metrika d(x,y)=||x−y||₂ a vektorok távolságát adja meg; diszkrét metrika d(x,y)=0 ha x=y, 1 különben; L1 (Manhattan) metrika d(x,y)=∑i|xi−yi|; L∞ (Chebyshev) metrika d(x,y)=maxi|xi−yi|; Hamming metrika hibák számát méri sorozatok között.

Topológiai szerep: Metrikák meghatározzák a konvergencia, a nyílt és zárt halmazok fogalmát, és megadják a tér topológiáját. Különböző metrikák lehetnek ugyanazt a topológiát adni, vagy eltérőket is.

Alkalmazások: Analízisben, geometriában és számítástudományban is használják a távolság-alapú összehasonlítást, gépi tanulásban a hasonlóság- és közelítés-méréseket, adatelemzésben és hálózatokban útvonal- vagy hasonlóság-értékelést.

Történelem: A metrika fogalma a 19. században alakult ki; fontos alakok közé tartoznak Fréchet, Riesz és Hausdorff, akik a koncepció formalizálásában közreműködtek. Ma a metrikák alapvető eszközök a matematikában és a gyakorlati tudományokban.