metrikkene

Metrikkerne, eller metrikkfunksjonene, måler avstand mellom elementer i en mengde. En metrikk d på en mengde X er en funksjon d: X × X → [0, ∞) som oppfyller fire krav: d(x,y) ≥ 0 for alle x,y; d(x,y) = 0 dersom og bare dersom x = y; d(x,y) = d(y,x); og d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) for alle x,y,z i X. Parret (X, d) kalles et metrikkrom, og metrikken gir en naturlig topologi via åpne kuler B(x,r) = { y i X | d(x,y) < r }.

Vanlige eksempler inkluderer den klassiske euklidiske metrikk på ℝ^n, d_Euclid(x,y) = sqrt(∑ (x_i - y_i)^2). Den diskré metrikken d_disc(x,y) = 0 hvis x = y, ellers 1. Lp-metrikker d_p(x,y) = (∑ |x_i - y_i|^p)^{1/p} for p ≥ 1, og d_∞(x,y) = max_i |x_i - y_i|. Andre eksempler er Hamming-metrikk for ord eller strenger og grafens avstand, som er lengden av korteste sti mellom to noder i en graf.

Med en metrikk oppstår en naturlig topologi på X: åpne kuler gir grunnlaget for åpne sett, og man kan definere konvergens av følger, Cauchy-følger, fullstendighet og kompaktitet. Ulike metrikker kan være topologisk like, det vil si at de gir samme åpne sett og samme konvergensatferd, selv om avstandene måles forskjellig.

Anvendelser av metrikker spenner fra ren matematikk til anvendelser i dataanalyse og maskinlæring, der avstander brukes til klynging, måling av likhet og strukturering av rom.