mengdefunksjoner

Mengdefunksjoner, eller set functions, er funksjoner som har et domene bestående av delmengder av en gitt mengde. Ofte arbeides det med hele potensmengden P(X) eller en sigma-algebra av delmengder, og funksjonen μ tildeler verdier til hver delmengde A ⊆ X. Verdien μ(A) ligger vanligvis i de utvidede reelle tallene, og konteksten bestemmer om domene og verdier er begrenset.

Vanlige egenskaper og spesialtilfeller

Enkelte set functions har egenskaper som gjør dem egnet som målinger. μ(∅) = 0 er vanlig, og monotonicitet innebærer at A ⊆ B ⇒ μ(A) ≤ μ(B). Additivitet betyr at for en familie av disjunkte delmengder Ai er μ(⋃i Ai) = Σi μ(Ai). Hvis disse egenskapene gjelder for en tellbar samling av delmengder, kalles μ ofte en måling (measure). En sannsynlighetsmåling er en måling med μ(X) = 1.

Eksempler

Vanlige eksempler inkluderer tellingmålingen μ(A) = |A|, som gir antall elementer i A, og Lebesgue-målingen, som tilordner mål til passende mengder i det rette målerommet. Generelt kan set functions brukes til å tilordne størrelser som lengde, areal, volumer eller sannsynligheter til ulike undermengder.

Anvendelser

I sannsynlighetsteori brukes målinger til å tildele sannsynligheter til hendelser. I kombinatorikk, geometri og analyse gir set functions et rammeverk for å kvantifisere størrelser av mengder. Begrepet fanger også forhold mellom en mengde og dens delmengder gjennom egenskaper som monotonicitet og additivitet, og det ligger til grunn for videre utvikling av måleteori og integrasjon. Relaterte begreper inkluderer indikatorfunksjonen χ_A, som markerer tilstedeværelse av elementer i en mengde.