maksimaalsuse

Maksimaalsus (maksimaalsuse mõiste) on mõiste matemaatikas, mis kirjeldab elementi, millel puudub antud struktuuris suurem element. Kui (P, ≤) on osaline järjend ehk poset, siis x ∈ P on maksimaalne, kui puudub y ∈ P selline, et x < y. Teisisõnu, x ei ole suurem kui mõni teine element, kuid see ei jäta ei väita, et x oleks kõigi elementide ülemus. Seetõttu võib maksimaalseid elemente olla mitu, ja maksimaalne ei ole tingimata ainus ega kõigi elementide ülemus.

Maksimum mõistet kasutatakse teinekord teises tähenduses: maksimum (või greatest element) on element, mis on kõigi elementide ülemus (x ≥ y iga y ∈ P). Kui selline element eksisteerib, on see tavaliselt unikaalne.

Näited

- P = {∅, {a}, {b}} koos inklusiooni järjendusega (osaline järjend). Siis {a} ja {b} on maksimaalsed elemendid, kuid puudub maksimaalne ehk maksimum, sest täisviimistluse {a,b} ei kuulu P.

- Reaalnumbrid ℝ sõbralises järjendis ≤: maksimaalne element puudub, sest iga x leiab suurema y.

- P = {1, 2, 3, 6} jagavuse korral: 6 on maksimaalne element, kuna ei ole suuremat elementi P sees; 2 ja 3 ei ole maksimaalsed, kuna 6 on nende kohal ja 2,3 jaguvad 6-ks.

Seosed ja rakendused

Maksimaalsus on keskne kontseptsioon osmilistes struktuurides ja projektides, kus otsitakse elemente, mida ei saa järjest kõrgemalt laiendada. Zorn’i lemma kasutab maksimaalsuse idee, et tagada maksimaalse elemendi olemasolu teatavate tingimuste korral. Maksimaalseid ideid leidub ka ringteoorias (maksimaalsed ideed).