lämpöyhtälössä

Lämpöyhtälö on differentiaaliyhtälö, joka kuvaa, kuinka lämpötila tai lämpö jakautuu ajan ja avaruuden funktiona. Se on perustavanlaatuinen yhtälö fysiikassa ja sitä käytetään monilla aloilla, kuten lämmönsiirron mallintamisessa, diffuusion kuvaamisessa ja jopa satunnaiskulun tutkimisessa.

Yksinkertaisimmassa muodossaan, yksiulotteisessa tapauksessa ja ilman ulkoisia lämmönlähteitä, lämpöyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti: $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$. Tässä $u(x, t)$ edustaa lämpötilaa pisteessä $x$ ajanhetkellä $t$, ja $\alpha$ on lämpödiffusiivisuus, joka kuvaa, kuinka nopeasti lämpö leviää materiaalin läpi. Yhtälö kertoo, että lämpötilan muutosnopeus ajan suhteen on verrannollinen lämpötilan toiseen derivaattaan avaruuden suhteen. Tämä tarkoittaa, että alueilla, joissa lämpötilan muutos on suuri (eli "kuoppa" tai "huippu" lämpötilajakaumassa), lämpö virtaa nopeammin.

Lämpöyhtälön ratkaiseminen edellyttää yleensä alkuolosuhteiden (lämpötilajakauma ajanhetkellä $t=0$) ja reunaehtojen (mitä tapahtuu järjestelmän reunoilla) määrittämistä. Eri reunaehdoilla, kuten Dirichetin (kiinteät lämpötilat reunoilla) tai Neumannin (kiinteät lämpövirrat reunoilla), saadaan erilaisia ratkaisuja. Lämpöyhtälöä voidaan ratkaista analyyttisesti tietyissä yksinkertaisissa tapauksissa, mutta usein tarvitaan numeerisia menetelmiä, kuten äärellisten erojen menetelmää tai äärellisten elementtien menetelmää, monimutkaisempien ongelmien ratkaisemiseksi.