lämpöyhtälöllä

Lämpöyhtälö on osittaisdiffertialyhtälö, joka kuvaa lämpötilan jakautumista aineessa ajan kuluessa. Se vastaa lämmön diffuusion ilmiötä, jossa lämpötila tasapainottuu poikkeamien suuntaisesti. Yleisesti se kuvaa, miten lämpö leviää ja pehmentää äkkirakenteita materiaalissa.

Yhden ulottuvuuden muoto on ∂u/∂t = α ∂²u/∂x², jossa u(x,t) on lämpötilafunktio ja α on lämpödiffusio. Monissa ulottuvuuksissa käytetään ∂u/∂t = α ∇²u. Ratkaisut riippuvat alku- ja reunaehdoista, kuten u(x,0)=f(x) sekä reunaehdoista, esimerkiksi Dirichlet (lämpötila määrätty), Neumann (lähtönopeus määrätty) tai Robin-tyyppiset ehdot.

Ratkaisumenetelmät sisältävät erottelumenetelmän, Fourier-sarjat ja Fourier-transformaation. Lämpöyhtälön perusratkaisu, eli lämpöyhtälön perusjakauma, G(x,t) = (4π α t)^{-n/2} exp(-|x|²/(4α t)) kuvaa, miten lämpö leviää pistemäisestä lähteestä ajan kuluessa. Ratkaisu voidaan usein kirjoittaa konvoluutiona f(x) ja G(x,t) välillä, jolloin alkuperäinen lämpötilakenttä saadaan liittämällä perusjakauma alkuperäiseen tilaan.

Sovelluksia on laajasti: lämpöjohtuminen, aineen diffuusio ja kemialliset prosessit sekä joissain talous- ja probabilistisissa yhteyksissä. Lämpöyhtälöön liittyy myös historiallinen yhteys Fourierin tutkimuksiin; hänen teoksessaan Theorie analytique de la chaleur (1822) esitellään ratkaisut ja menetelmät.

---