lintegralerna

Lintegralerna, eller line integrals, är en typ av integral som generaliserar integration längs kurvor i rymden. Det finns två huvudsakliga former: lintegraler av en skalärfält och lintegraler av en vektorfält.

Låt C vara en slät kurva i R^n parameteriserad av r(t), t ∈ [a,b]. För ett skalärfält f är lintegralen längs C given av ∫_C f ds = ∫_a^b f(r(t)) ||r′(t)|| dt, där ds = ||r′(t)|| dt är elementet av båglängd. För ett vektorfält F är lintegralen längs C ∫_C F · dr = ∫_a^b F(r(t)) · r′(t) dt, där dr = r′(t) dt.

Tolkning: den skalära formen mäter en ackumulerad mängd f längs kurvan med avseende på längden; till exempel kan f representera täthet och därmed ge massan av en tråd. Den vektorformade mäter arbete som en kraft F utför längs vägen, eller mer allmänt komponenten av F i rörelsens riktning som integreras längs C.

Egenskaper: Den vektorformade lintegralen beror på kurvans orientering. Om F är konservativ, det vill säga F = ∇φ, så är ∫_C F · dr lika med φ(B) − φ(A), beroende endast på slutpunkter i domänen. I enkelt sammanhängande domäner gäller även curl F = 0 som en tillräcklig condition.

Tillämpningar: beräkning av arbete, massa av en tråd med varierande densitet och liknande flödesmätningsproblem längs kurvor i högre dimensioner. Lintegraler utgör en byggsten för Stokes sats, som kopplar lintegraler till ytintegraler över ytor som avgränsas av C.