lineariteetti

Lineaariteetti on matemaattinen ominaisuus, jota tutkitaan usein funktioiden ja operaattoreiden yhteydessä. Funktio f: V → W on lineaarinen, jos se säilyttää sekä yhteenlaskun että skalaarikertolaskun: f(x + y) = f(x) + f(y) ja f(a x) = a f(x) kaikille x, y ∈ V ja kaikille skaalauksille a. Tämän seurauksena f(0) = 0 sekä f(n x) = n f(x) ja f(∑ x_i) = ∑ f(x_i) voidaan johtaa.

Lineaarisuus ilmenee erityisesti vektoriavaruuksissa toimivissa lineaarisissa operaatioissa, kuten L(x) = A x. Niille pätee L(x + y) = L(x) + L(y) ja L(a x) = a L(x) kaikille x, y ∈ V ja kaikille skaalauksille a. Lineaariset operaatiot voidaan esittää matriisien avulla: jos V = F^n ja W = F^m, niin L(x) = A x, missä A on matriisi m×n. Ominaisuuksiin kuuluvat kernel (nollatuloalue) ja kuva; kompositiokin on lineaarinen.

Esimerkkejä: derivaatio-operaattori D on lineaarinen, sillä D(f + g) = f' + g' ja D(a f) = a f'. Myös integraatio on lineaarinen, ja konvoluutio on lineaarinen. Lineaarisuus mahdollistaa superposition-periaatteen: ratkaisut lineaarisille differentiaaliyhtälöille muodostuvat usein yksittäisten ratkaisujen summana.

Lineaarisuus vs. affine: Affine-muunnos f(x) = A x + b on lineaarinen vain silloin, kun b = 0. Lineaarisuus ulottuu laajemmin tilastotieteeseen ja analyysiin, esimerkiksi odotuksen lineaarisuus E[aX + bY] = a E[X] + b E[Y] sekä lineaariset mallit.