linearisointia

Linearisointi on epälineaarisen mallin tai funktion lähentäminen lineaarisella mallilla referenssipisteen ympärillä. Yleisesti se toteutetaan käyttämällä ensimmäisen kertaluvun Taylorin sarjaa ja tulkitaan siten tangenttiviivaksi. Linearisointi on siten paikallinen, eli sen tarkkuus on yleensä hyvä pienillä poikkeamilla referenssipisteestä.

Yhden muuttujan tapauksessa lineaarinen lähennys f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a) syntyy, kun f on derivoituva pisteessä a. Monimuuttujaisessa tapauksessa f: R^n → R^m linearisointi at x = a on f(x) ≈ f(a) + Df(a)(x − a), missä Df(a) on Jacobian-matriisi. Tämä tarjoaa lineaarisen mallin, joka kuvaa, miten pienet muutokset syötteessä vaikuttavat muutoksiin.

Linearisointia käytetään laajalti dynaamisen järjestelmän analyysissä. Diferentiaaliyhtälöille dx/dt = f(x) ja tasapainopisteelle x* linearisointi tuottaa dz/dt = A z, missä z = x − x* ja A = Df(x*) on Jacobian. Tämän avulla voidaan arvioida tasapainon stabiiliutta ja paikallista dynamiikkaa. Samankaltainen lähestymistapa koskee diskreettejä karttoja x_{k+1} = F(x_k), joissa pientä poikkeamaa tarkastellaan delta x_{k+1} ≈ DF(x*) delta x_k.

Linearisoinnin käyttökohteisiin kuuluu kontrolliteoria, automaatio, fysiikka ja insinööritieteet, sekä pienaaltojen analyysi ja mallinlyhennykset monimutkaisissa järjestelmissä. Rajoitteena on, että lähennys on paikallinen ja sen onnistuminen vaatii riittävän differentiabiliteetin sekä pienet poikkeamat referenssipisteestä. Suuret poikkeamat voivat johtaa virheellisiin johtopäätöksiin, jolloin koko nonlinearisen mallin käyttö voi olla välttämätöntä. Esimerkki: sin(x) voidaan lähentää tangenttiviivalla sin(0) + cos(0)(x − 0) = x, kun x on lähellä nollaa.