limitusykliä

Limitusykliä (mon. limitusykliä) on jatkuvan ajan dynaamisen järjestelmän vaihetilan suljettu kiertorata, joka on eristetty. Käytännössä kyseessä on periodinen ratkaisu, jonka ympärillä muut polut eivät muodosta muita eristettyjä kiertäviä ratoja. Limitusykli voi olla vakaa, epävakaa tai puolivakaa riippuen systeemin parametreista. Vakaa limitusykli vetää ympärilleen lähestyvät trajektoriat puoleensa ja pysäyttää ne kiertämään; epävakaa limitusykli karkottaa tilat; puolivakaa limitusykli on tilanne, jossa osa poluista lähestyy ja osa hajaantuu sen läheltä.

Limitusykleillä on erityisen tärkeä rooli kahden ulottuvuuden planar järjestelmissä, joissa ne voivat toimia sekä rytmisen käyttäytymisen pysäyttämänä että säätelijänä. Poincaré–Bendixsonin teoreema antaa ehtoja sille, milloin planar järjestelmän ratkaisuilla voi olla limitusykli: jos trajektorin omega-loppuratkaisu on rajoitettu eikä sisällä vakioita, kyseessä on useimmiten limitusykli. Tämä teoreema tekee limitusyklistä keskeisen käsitteen rytmisten ilmiöiden ymmärtämisessä kahden ulottuvuuden järjestelmissä.

Esimerkkejä tunnetuista limitusykleistä ovat van der Pol -oskillattori ja FitzHugh–Nagumo -malli. Van der Polin osaillattori tuottaa vakaata limitusykliä, jonka ympärille tilat kääntyvät ajan myötä. FitzHugh–Nagumo -malli kuvaa neuronien rytmistä toimintaa ja voi ylläpitää säännöllisiä oskillaatiota parametriensa kautta.

Limitusykliä käytetään mallintamaan kollaboraatioita, biologisia rytmejä ja kestävää rytmivapaaa syklisissä prosesseissa, sekä tarjoamaan kehyksen ymmärtää, miten pienet muutokset parametreissa voivat muuttaa järjestelmän pitkän aikavälin käyttäytymistä.