közelpontoknál

A közelpont vagy limitpont egy halmaz olyan pontja, amelyre minden nyílt környezetben található olyan pont a halmazon belül, amely nem maga a vizsgált pont. Formálisan: x a halmaz S közelpontja, ha minden környezetben Ux található S-beli pont, amely nem x. Ettől függően a közelpontokat összefogó halmazt derived setnek vagy S' jelölésével írjuk le, és a halmazok bezárásához is kapcsolódnak.

A közelpontok halmazát a derived set S'-nek nevezik. Fontos tulajdonság, hogy S' zárt, és a szorozási vagy unió műveleteknél gyakran szerepel a cl(S) jelölés: a zárás cl(S) felruházza S-hez S' hozzáadását, azaz cl(S) = S ∪ S'. A közelpontok feltethetik, hogy a halmaz legalább részben sűrű legyen, és a halmaz érintkezési pontjait meghatározzák.

Példák: S = {1/n : n ∈ N} a valós számokban; 0 közelpontja S-nek, bár 0 nem része S-nek. S = Z (az egész számok) esetén a halmaznak nincs közelpontja a valós számokban. A Cantor-halmaz például minden pontja közelpontja a halmaznak (tehát a derived set megegyezik a Cantor-halmazzal). Minden végtelen, de korlátos valós halmazból az Bolzano–Weierstrass-tétel szerint legalább egy közelpont található.

Alkalmazások: közelpontokat gyakran használják a sorok és függvények konvergenciájának vizsgálatánál, megadják a zárás és a topológiai szerkezet alapvető elemeit, és segítenek megkülönböztetni izolált pontokat a belső pontoktól. A közelpontok fogalma kiterjeszthető bármely topológiai térre, nemcsak a valós számokra.