kvaternionirepresentaatiota

Kvaternionirepresentaatiota tarkoittaa kvaternioalgeelin A lineaaristen esitysten muodostamaa luokkaa, jossa algeelin elementit toimivat lineaarisesti vektoriavaruudessa. Käytännössä kyse on siitä, miten A:ta kuvaavat esitykset eli moduulit voidaan rakentaa ja tulkita. Esitykset voivat olla tavallisesti pelkästään lineaarisia toimintoja, jotka säilyttävät arvojen addition ja skalaarinkertojen suhteen.

Taustaa: klassiset kvaternioiden H-alkuaineet muodostavat nelidimensioisen reaalialgeelin, jolla on basiset 1, i, j ja k sekä i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1. Kvaternioiden esitys algebra- ja rotaatioiden tutkimuksessa liittyy usein Spin- ja SU(2) -ryhmiin. Yleisesti kvaternionirepresentaatioissa tarkastellaan, miten kvaternioiden muodostamat operaatiot voivat acts as linear operators on vektoriavaruuksia, sekä miten näitä esityksiä voi luokitella jakamalla ne irreducibileihin osiin.

Yleinen rakenne: kvaternionirepresentaatiot käsittelevät A-moduuleja, joissa A on kvaternionialgebra tai sen yleistyksiä. Keskeisiä käsitteitä ovat reducibility, irreducibiliteetti, suuruuden (dimension) ja luokittelu, sekä esim. Schurin lemma, which auttaa erottamaan epäyhtenäisiä esityksiä. Kun base-kennelä on reaalinen tai kompleksi, esitysten rakenne voi liittyä suoraan kvaternioalgeelin rakenteeseen ja niistä johdettaviin rotaatio- ja spinoritoimintoihin.

Esimerkkejä ja sovelluksia: klassinen Left-regular representaatio käyttää kvaternioalgeelin itse toimintaa vektoriavarudessa. Kvaternionirepresentaatiot ovat keskeisiä tietokonegrafiikassa rotaatioiden kuvaamisessa ja fyysisten mallien spinoritoimintojen ymmärtämisessä. Yleistettyinä ne voivat esiintyä erilaisten kvaternionialgeelien moduuleina, joita tarkastellaan eri kentillä ja konteksteissa.

Lähteet ja lisäluettavaa: kvaternioalgeelit, kvaternionirepresentaatiot ja associated spinor- ja rotaatioteoriat löytyvät perusmatematiikan ja algebran teksteistä sekä universitetskirjoituksista.