kuvakäyrien

Kuvakäyrät ovat käyriä, jotka ovat saatuina toisen käyrän kuvaamisesta jollakin kartoitus- tai muuttomallilla. Käytännössä, jos γ on kurvi I → X ja f on kartta X → Y, niin kuvakäyrä f∘γ on käyrä I → Y, jota kutsutaan kuvakäyräksi γ:n kuvana. Kun puhutaan useammasta käyrästä tai kuvauksesta eri käyrien ryhmälle, käytetään ilmaisua kuvakäyrien kuvaama tilanne.

Yleisimpiä esimerkkejä ovat suunnikkaan tai pinnan muunnokset lineaarien tai ei-lineaaristen karttojen kautta. Esimerkiksi, kun γ(t) = (cos t, sin t) määrittelee yksikköympyrän R^2:ssa ja f on lineaarinen muunnos, kuten f(x,y) = Ax, niin kuvakäyrä on ellipsi tai muu yhdistelmä alkuperäisestä ympyrästä riippuen A:n ominaisuuksista. Epälineaarinen esimerkki: f(x,y) = (x^2, y^2) kuvaa ympyrän kuvana x+y=1:n rajoittamalla alueella.

Ominaisuudet ja laskeminen: Jos f on Lipschitz-kykyinen jaolla L, kuvakäyrän pituus on enintään L kertaa alkuperäisen käyrän pituus. Jos γ on C^1 ja f on derivoituva, kuvan pituus voidaan laskea integroimalla |Df(γ(t))·γ′(t)| dt. Erityistapauksissa voidaan tarkastella tangentin suuntaa ja derivaattojen vaikutusta kuvakäyrän muodolle.

Rajoitukset ja sovellukset: Kuvakäyrät voivat menettää säännöllisyyden tai aiheuttaa itseään leikkaavat kuviot, jos kartta on epälineaarinen tai epätiheä. Niillä on keskeinen rooli esimerkiksi tietotekniikassa, tietojenkäsittelyssä, geometriassa ja visuaalisessa mallinnuksessa sekä differentiaaligeometriassa, jossa tutkitaan, miten käyrät muuttuvat eri karttojen kautta.