kurvelængden

Kurvelængden (arc length) er et mål for længden af en kurve mellem to punkter og svarer til den faktiske afstand langs kurvens bane. Den er en intrinsic størrelse, der ikke afhænger af, hvordan kurven er parametriseret eller tegnet.

For en differentiabel bane i planet beskrevet som y = f(x) mellem x = a og x = b er kurvelængden s givet ved s = ∫ from a to b sqrt(1 + (f'(x))^2) dx. Hvis kurven beskrives parametrisk som r(t) = (x(t), y(t)) med t i [a, b], er s = ∫ from a to b sqrt( (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 ) dt. Lignende udvidelser gælder for rumkurver i R^3. En vigtig egenskab er, at kurvelængden er uafhængig af den anvendte parameterisering, så længe parameteriseringen er regular (Hastigheden er ikke nul).

Kurvelængden giver også en direkte forbindelse til bevægelse: hvis et punkt bevæger sig langs kurven med hastighed v(t) = ||dr/dt||, så er kurvelængden s lig med ∫ v(t) dt over befitningen. Ved konstant hastighed svarer s til hastigheden ganget med tiden.

Eksempler: En cirkel med radius R har kurvelængde mellem vinklerne θ1 og θ2 givet ved s = R |θ2 − θ1| (i radianer). En lige linje mellem to punkter har kurvelængden lig med afstanden mellem punkterne. For mere komplekse kurver kræves ofte direkte eller numerisk integration.

Anvendelser findes i geometri, fysik, computergrafik og GIS. Kurvelængde kan også tilnærmes ved polygonalisering: summen af længderne af tætte segmenter konvergerer mod den virkelige kurvelængde.