konvoluutiooperaatiolle

Konvoluutiooperaatio on matemaattinen operaatio, joka yhdistää kaksi funktiota tuottaakseen kolmannen funktion. Se esiintyy laajasti signaalinkäsittelyssä, kuvankäsittelyssä ja todennäköisyyslaskennassa. Konvoluution idea on "liukuva keskiarvo" tai painotettu summa toisesta funktiosta, jossa painot tulevat toisesta funktiosta.

Matemaattisesti konvoluutio kahden reaaliarvoisen funktion f ja g määritellään integraalina: (f * g)(t) = ∫ f(τ) g(t - τ) dτ, missä integraali lasketaan kaikilla τ:n arvoilla. Diskreetissä tapauksessa, jossa funktiot ovat sarjoja, konvoluutio määritellään summana: (f * g)[n] = Σ f[k] g[n - k], missä summa lasketaan kaikilla k:n arvoilla.

Signaalinkäsittelyssä konvoluutiota käytetään kuvaamaan lineaarisen aikainvariantin (LTI) järjestelmän ulostuloa, kun sen sisääntulo ja impulssivaste tunnetaan. Kuvankäsittelyssä konvoluutio on keskeinen toiminto suodattimien, kuten reunojen tunnistuksen ja epäterävyyden, toteuttamisessa. Todennäköisyyslaskennassa kahden riippumattoman satunnaismuuttujan summan jakauma saadaan niiden tiheysfunktioiden konvoluutiona. Konvoluution laskeminen on yleensä laskennallisesti intensiivistä, mutta se voidaan usein tehokkaasti toteuttaa Fourier-muunnoksen avulla, sillä konvoluution operaatio vastaa kahden funktion Fourier-muunnosten pistetuloa.