konvoluoida

Konvoluutio (verbi konvoluoida) on matemaattinen operaatio, joka yhdistää kaksi funktiota tai signaalia ja tuottaa kolmannen funktion. Sillä on sekä jatkuvan ajan että diskreetin ajan versiot. Jatkuva konvoluutio määritellään f ja g: (f * g)(t) = ∫_{-∞}^{∞} f(τ) g(t−τ) dτ. Diskreetti konvoluutio: (f * g)[n] = ∑_{k=-∞}^{∞} f[k] g[n−k]. Kun toinen funktio on rajoitettu, summat tai integraalit rajoittuvat vastaavasti.

Ominaisuudet: konvoluutio on kommutatiivinen ja assosiatiivinen: f * g = g * f ja f * (g * h) = (f * g) * h. Se on lineaarinen operaatio ja ajan-invariantin lineaarisen järjestelmän vaste saadaan konvoluution kautta.

Sovellukset: Signaalinkäsittelyssä konvoluutiota käytetään suodatukseen, smoothingiin sekä reunan havaitsemiseen. Kuvankäsittelyssä konvoluutiota käytetään erilaisten suodattimien, kuten Gaussin pehmittimen tai reunaintegraattorien, toteuttamiseen sekä kuvan muokkaamiseen ja analysointiin. Todennäköisyysteoriassa konvoluutio kuvaa kahden riippumattoman satunnaismuuttujan summan jakaumaa; käytännössä se mallintaa järjestelmän kokonaisvasteen.

Laskenta: suurten signaalien tapauksessa konvoluutio voidaan laskea tehokkaasti Fourier-muotouksella (FFT), ja rajakäytännöt kuten valid, same tai full ovat yleisiä kuvatyökalujen konvoluutiometodeissa. Konvoluutio on keskeinen työkalu sekä teoreettisessa että soveltavassa matemaattisessa analyysissä.