konvexní

Konvexní je pojem z geometrie, analýzy a teorie optimalizace. V prostoru R^n je množina C konvexní, pokud pro každé dva body x a y z C a pro všechna čísla λ ∈ [0,1] platí, že λx + (1−λ)y ∈ C. Tato podmínka znamená, že úsečka spojující libovolné dva body leží zcela v C.

Konvexní funkce: Pokud D je konvexní podmnožinou R^n a f: D → R, říkáme, že f je konvexní, když pro všechna x, y ∈ D a λ ∈ [0,1] platí f(λx + (1−λ)y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y). Pojem se vykládá i jako striktně konvexní, když nerovnost platí přísněji pro x ≠ y.

Příklady: Konvexní množinou jsou intervaly [a,b] na číselné ose, disk v R^2 a libovolný konvexní polygon; obecně jakékoli útvary, jejichž každý bod lze spojit přímkou mezi libovolnými dvěma body v útvaru bez opuštění množiny. Ne-konvexní útvary mají výstupky nebo zanoření, která porušují konvexní podmínku.

Vlastnosti: Průnik libovolného počtu konvexních množin je konvexní. Konvexní obal (konvex hull) je nejmenší konvexní množina obsahující daný soubor. Obraz konvexní množiny pod lineárním zobrazením je konvexní; Minkowský součet dvou konvexních množin je konvexní.

Aplikace: V konvexní optimalizaci má cílová funkce a věcná množina konvexní charakteristiky, které zaručují, že lokální minimum je globální. Konvexita se hojně používá v ekonomii, strojovém učení, financích a výpočtové geometrii.