komplextvärdesfunktion

En komplextvärdesfunktion, eller bara komplex funktion, är en funktion vars argument och/eller värden är komplexa tal. Den kan skrivas på formen f(z) = w, där z och w är komplexa tal. Ett komplext tal z kan representeras som z = x + iy, där x är den reella delen och y är den imaginära delen, och i är den imaginära enheten.

När man arbetar med komplexa funktioner kan man ofta dela upp dem i sina reella och imaginära delar. Om f(z) = u(x, y) + iv(x, y), där u och v är reella funktioner av de reella variablerna x och y. Funktionen u(x, y) kallas den reella delen av f(z), och v(x, y) kallas den imaginära delen av f(z).

Studiet av komplexa funktioner är ett viktigt område inom matematisk analys, känt som komplex analys. Många begrepp från reell analys, såsom derivata och integral, har analoger i komplex analys, men med vissa viktiga skillnader och tillägg. Komplexa funktioner har breda tillämpningar inom områden som fysik, ingenjörsvetenskap, och signalbehandling. Exempel på grundläggande komplexa funktioner inkluderar den komplexa exponentialfunktionen, komplexa logaritmen och trigonometriska funktioner utvidgade till komplexa tal. Analytiska funktioner, som är funktioner som är differentierbara i varje punkt i ett öppet område av det komplexa planet, är särskilt viktiga inom komplex analys.