kokonaispleksin

Kokonaispleksin on käsite matematiikassa, erityisesti homologisessa algebrassa ja topologiassa, ja se liittyy kaksinkertaisiin kompleksiin. Se muodostaa yksittäisen, kokonaisdegreettisen kompleksin siten, että alkuperäisen kaksinkertaisen kompleksin tieto säilyy.

Oletetaan, että meillä on kaksinkertainen kompleksin C^{p,q} mitkä koostuvat kenties abelleinisista ryhmistä tai moduuleista, joiden vasen ja oikea diffeentiaali ovat d': C^{p,q} → C^{p+1,q} sekä d'': C^{p,q} → C^{p,q+1}, ja ne täyttävät d' d'' + d'' d' = 0. Tällöin kokonaispleksin T^n määritellään T^n = ⊕_{p+q=n} C^{p,q}. Sen differentiaali on d = d' + (-1)^p d'', jolloin d: T^n → T^{n+1}. Tämä yhdistetty rakenne antaa yhden kompleksin, jossa kunkin asteen tieto on kerätty diagonaalisesti.

Käytännössä kokonaispleksia käytetään monitahoisten rakenteiden, kuten hyperkohoemioiden ja spektrijonoiden, tutkimiseen. Kaksinkertaisen kompleksiation homologia H^n(T) vastaa alkuperäisen kompleksiin liittyvää hyperkohoemaa. Yleensä voidaan puhua kahdesta tulkinnasta: sen kautta voidaan laskea hypercohomology tai derivointifunktioiden funktiopaikkoja, ja sen avulla muodostetaan usein konstruoitu spektrijono, jonka E_1- tai E_2- sivuilla näkyvät alkuperäisten komponenttien koosteet.

Esimerkkejä ja käyttökohteita ovat muun muassa de Rhamin ja Čechin kohoemien yhteenveto ihmisille sekä sheaf-kohmeotien laskeminen. Kokonaispleksin periaatteet ovat keskeisiä monissa algebra- ja topologia-konteksteissa, joissa halutaan yhdistää useiden järjestelmien kohmeet yhdeksi kokonaisuudeksi.